Τα μαθηματικά τα ανακαλύψαμε ή τα εφηύραμε;

Ανοίγοντας ένα βιβλίο Μαθηματικών συναντά κανείς προτάσεις όπως: «o Leibniz επινόησε τον απειροστικό λογισμό», «ο Euler ανακάλυψε την ομώνυμη φόρμουλα» ή ακόμα «o Ricatti εισήγαγε τις υπερβολικές συναρτήσεις». Πιθανότατα, ο αναγνώστης που ανυπομονεί να «βουτήξει» στις αποδείξεις θεωρημάτων δεν θα προβληματιστεί από τη λεπτή ένταση μεταξύ τέτοιων δηλώσεων. Όμως, το «επινοώ» διακρίνεται σαφώς από το «ανακαλύπτω». Όταν «επινοώ» κάτι, φέρνω στον κόσμο κάτι που δεν υπήρχε ως τώρα ενώ όταν «ανακαλύπτω» ουσιαστικά αναγνωρίζω, καθιστώ οικείο κάτι που βρισκόταν «εκεί» εξαρχής. Έτσι λοιπόν,ο ιός HIV, όπως τα πρωτόνια ή η Αμερική, ανακαλύπτονται και δεν επινοούνται. Τι συμβαίνει, όμως, με τα μαθηματικά αντικείμενα όπως οι πρώτοι αριθμοί, το ολοκλήρωμα Lebesgue¹ ή συνάρτηση ζήτα του Riemann² ;

Το ερώτημα σχετικά με τη φύση της μαθηματικής γνώσης και των μαθηματικών αντικειμένων είναι σχεδόν τόσο παλιό όσο και η φιλοσοφία. Ο Πλάτωνας είχε ήδη από τον 4ο αιώνα π.Χ. θεωρήσει πως τα μαθηματικά αντικείμενα αποτελούν αντικειμενικές, ανεξάρτητες του νου οντότητες σαν μέρος του κόσμου των Ιδεών, του οποίου ατελής «ανάκλαση» αποτελούσε ο κόσμος της ύλης διαμορφώνοντας τη θέση του «πλατωνισμού σε σχέση με τα Μαθηματικά». Οι σύγχρονοι μαθηματικοί πλατωνιστές, χωρίς φυσικά να δέχονται ολόκληρο το φιλοσοφικό οικοδόμημα του Πλάτωνα, θεωρούν πως τα Μαθηματικά αφορούν πράγματα που υπάρχουν «εκεί έξω», δηλαδή οντότητες που δεν είναι λιγότερες πραγματικές από αντικείμενα της άμεσης και έμμεσης (όπως π.χ.  στην περίπτωση των ατόμων) εμπειρίας μας. Η αλήθεια των μαθηματικών προτάσεων είναι ανεξάρτητη της ύπαρξης του ανθρώπινου νου. Αυτό μοιάζει να συμβαδίζει με την εκπληκτική επιτυχία με την οποία τα Μαθηματικά περιγράφουν τον κόσμο από τις κινήσεις υλικών σωμάτων μέχρι τον ρυθμό αυξομείωσης πληθυσμών ή του ετήσιου πληθωρισμού.

Υπεραπλουστεύοντας μια μακρά φιλοσοφική συζήτηση, στην αντίπερα όχθη μπορούμε να διακρίνουμε ένα μεγάλο αντίπαλο στρατόπεδο: τους νομιναλιστές. Σύμφωνα με αυτή τη θέση, τα Μαθηματικά δεν είναι παρά κατασκευάσματα που διαμορφώνει ο νους μέσα από κάποια διαδικασία αφαίρεσης παρατηρώντας τα αντικείμενα της εμπειρίας. Μια άμεση πρόκληση για τον νομιναλιστή είναι ακριβώς το να εξηγήσει πώς γίνεται οι μαθηματικές θεωρίες να είναι τόσο επιτυχείς στην περιγραφή του κόσμου αν απλώς συνιστούν επινοήσεις του νου. Άλλωστε, δεν είναι λίγες οι φορές που η κατανόηση μιας μαθηματικής δομής οδήγησε σε καινοφαινείς προβλέψεις σε φυσικές θεωρίες. Όταν μια θεωρία στη φυσική ή στη βιολογία καταφέρνει αυτό, δεν πιστεύουμε πως αναπαριστά κάτι που όντως υφίσταται στον κόσμο; Γιατί τα Μαθηματικά να διαφέρουν;

Μια απάντηση σε αυτό το επιχείρημα μπορεί να βασιστεί στην ιδιομορφία των μαθηματικών αντικειμένων. Σε αντίθεση με το DNA, τους αστέρες νετρονίων ή τους νευρώνες, οι συναρτήσεις και οι αριθμοί ούτε παρατηρήσιμοι είναι ούτε επιδρούν αιτιακά με κάτι στον κόσμο. Η ύπαρξή τους έχει κάτι το μυστηριακό: αφηρημένες οντότητες που «διαπνέουν» τον κόσμο και καθορίζουν τη δομή του. Ακόμη και ο σύγχρονος πλατωνιστής, που τονίζει απλώς την αναλογία μεταξύ μαθηματικών και άλλων επιστημονικών όρων, μας οφείλει μια εξήγηση σχετικά με τη φύση τους και τον τρόπο που σχετίζονται με τα φυσικά, αιτιακά επιδρώντα αντικείμενα.

Φαίνεται, λοιπόν, πως η τελική κρίση σε σχέση με το αν τα Μαθηματικά ανακαλύπτονται ή επινοούνται εξαρτάται ουσιωδώς από τις φιλοσοφικές προϋποθέσεις που τίθενται. Αν η περιγραφική επιτυχία κρίνεται επαρκές κριτήριο για την ύπαρξη μιας οντότητας, τότε τα Μαθηματικά ανακαλύπτονται όπως ανακαλύπτεται και η Φυσική. Νομίζω, όμως, πως αυτό δεν ισχύει. Το ότι υπάρχουν μοτίβα στη φύση που περιγράφονται από μαθηματικές θεωρίες δεν αρκεί για να μας κάνει να πιστέψουμε πως αυτές «ανακαλύπτονται». Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που τα μαθηματικά αξιοποιούνται με έναν τρόπο που εξυπηρετεί την πρακτική ενός πεδίου χωρίς να είναι απαραίτητα καλά θεμελιωμένα (όπως π.χ. στην κβαντική θεωρία πεδίου ή παλιότερα στην προσέγγιση του Dirac στην κβαντομηχανική). Επίσης, δεν υπάρχει «απόρριψη μιας μαθηματικής θεωρίας» όπως υπάρχει «απόρριψη μιας φυσικής θεωρίας». Δεν είναι «λάθος» η ευκλείδεια γεωμετρία – απλώς δεν είναι το «σωστό» πλαίσιο για τη φυσική που περιγράφει τον χωροχρόνο. Γι’αυτό το λόγο θα έλεγα πως η λέξη «επινόηση» είναι πιο σωστή όταν μιλάμε για μαθηματικές θεωρίες – χωρίς αυτό να σημαίνει πως είναι αυθαίρετη, δηλαδή αλλάζει κατά το δοκούν. Τα μαθηματικά αντικείμενα λειτουργούν σαν εργαλείο του νου αλλά η «κατασκευή» τους είναι άμεσα συνυφασμένη με τη φύση αυτού και όπως κάθε (σωστό) εργαλείο έχουν εγγενείς περιορισμούς στις εργασίες που μπορούν να επιτελέσουν.

Το παραπάνω κείμενο γράφτηκε με αφορμή την ερώτηση “Στη φύση παρατηρούνται μαθηματικά μοτίβα, ενώ χρησιμοποιούμε μαθηματικά και για να περιγράψουμε διάφορα φαινόμενα. Ωστόσο, τα μαθηματικά τα ανακαλύψαμε ή τα εφηύραμε;”

¹ https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration

² https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function